Como construir uma tabela-verdade

31 julho 2010 , |

Às vezes é bastante útil saber usar a tabela-verdade para uma dada proposição, pois a resposta de uma questão de prova pode ser obtida de forma segura e confiável. E, por esse motivo, vamos aprender a construí-las passo a passo.


Se usássemos como exemplo a proposição "As rosas falam ou as rosas exalam", você já saberia representá-la pelo símbolo P ∨ Q, sendo "As rosas falam" e "As rosas exalam" representadas, respectivamente, por P e Q. E também saberia todos os valores verdade assumidos por essa proposição composta.

Porém, usaremos como exemplo a proposição

"As rosas não falam ou as rosas exalam".

Como construir a tabela-verdade da proposição acima representada por (¬ P) ∨ Q ?

Como você pode ver na tabela abaixo, o valor lógico da terceira coluna ainda precisa ser preenchido.

P Q (¬P) ∨ Q
V V ?
VF?
FV?
FF?

Para determinarmos os valores da expressão (¬P) ∨ Q, e substituir os sinais de interrogação por V ou F, vamos usar uma coluna auxiliar que conterá os valores da proposição ¬P.

P Q ¬P (¬P) ∨ Q
V V F ?
VF F ?
FV V ?
FF V ?

Observe a terceira linha da tabela acima, em destaque, onde as proposições ¬P e Q são ambas F. Essa é a única possibilidade em que a proposição composta formada pelo conectivo "ou", ligando duas proposições simples, é falsa (Veja a regra do conectivo "ou" no artigo Que é conectivo). Ou seja, você pode preencher com um F a casa na terceira linha e última coluna dessa tabela.

P Q ¬P (¬P) ∨ Q
V V F ?
VF F F
FV V ?
FF V ?

Para as demais possibilidades, quando pelo menos uma proposição dentre ¬P e Q for V, a regra para o conectivo "ou" estabelece que (¬P) ∨ Q será V. Por essa razão, você pode completar com V as três casas que faltavam na tabela-verdade:

P Q ¬P (¬P) ∨ Q
VV F V
VF F F
FV V V
FF V V

Em suma, a primeira tabela desse artigo fica com os seguintes valores:

P Q (¬P) ∨ Q
V V V
VFF
FVV
FFV

Esse é o procedimento básico que você deve seguir para construir a tabela de qualquer símbolo.

Voltando ao exemplo das rosas. Sabemos que é falsa a proposição "As rosas falam", e é verdadeira a proposição "As rosas exalam". Portanto, quando P é F e Q é V, a tabela acima mostra em sua quarta linha que a composta "As rosas não falam ou as rosas exalam" é V. 

É claro que você poderia chegar a essa conclusão sem precisar construir a tabela-verdade acima, mas usamos esse simples exemplo para ilustrar o procedimento de construção de tabelas-verdade. E quando você ler a próxima lição, Equivalência lógica, você entenderá porquê eu resolvi construir a tabela-verdade do símbolo (¬P) ∨ Q.

Número de linhas da tabela-verdade

O número de linhas que uma tabela verdade possui depende de quantas proposições simples estão contidas na composta. Nos exemplos estudados até aqui tivemos apenas duas proposições, P e Q, e 4 linhas de valores lógicos na tabela-verdade.

Um símbolo que contenha três proposições, P, Q e R, como, em particular, P ∧ Q ∧ R, tem 8 linhas de valores lógicos na tabela-verdade.

P Q R P ∧ Q ∧ R
V V V V
VV F F
VF V F
FV V F
VF F F
FV F F
FF V F
FF F F

Note que há exatamente 8 maneiras de combinar os valores lógicos de cada uma das três proposições PQ e R. Verifique ainda que há um único caso onde o símbolo P ∧ Q ∧ R é V.

Em geral, um símbolo que tiver n proposições simples, sendo n um número inteiro e positivo, a tabela-verdade correspondente terá 2n linhas de valores lógicos.

Para encerrar, leia a questão de prova em destaque.

Julgue o próximo item.
Considerando as proposições simples que compõem a frase "A música nos conecta a nós mesmos, aos outros e à alma do Brasil", é correto afirmar que a tabela-verdade da proposição referente a essa frase tem 8 linhas.
Resposta comentada
Certo porque são 3 proposições, "A música nos conecta a nós mesmos", "A música nos conecta aos outros" e "A música nos conecta à alma do Brasil", e o número de linhas é dado por 2= 2 × 2 × 2 = 8.

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